Prefazione
Una delle branche più antiche della matematica è la teoria dei numeri.
Considerata in passato l'ancella dell'analisi e dell'algebra nel vasto campo delle scienze matematiche, ha acquistato nel tempo un interesse specifico imponendosi definitivamente come disciplina autonoma e rivelandosi talmente affascinante e misteriosa da essere definita "un'arte più che una scienza" da autorevoli matematici.
Sistematiche speculazioni ed eleganti dimostrazioni l'hanno resa feconda di risultati e di applicazioni pratiche, ma tuttora è costellata di problemi insoluti e ricca ancora di congetture di notevole interesse. Come cultore e dilettante, in settori della teoria dei numeri l'autore da anni conduce ricerche, di cui alcune già concretizzate in:
- lavoro manoscritto sul calcolo di xn e n ! , "Concorso per la matematica", 1972 indetto da Ministero P.I. e Accademia dei Lincei - (tra i recensiti a stampa, agli Atti dell'Accademia).
In esso viene individuato e dimostrato che l’ennesima differenza di un polinomio di n-esimo grado (che è sempre una costante) è n!, base comune a tutti i triangoli numerici che esprimono xn per mezzo di somme e differenze di numeri interi.
E le formule ottenute corrispondono, appunto, ai principi matematici che stanno alla base delle macchine alle differenze, capaci di tabulare polinomi con risultati eccezionali per i sistemi attuali di elaborazione elettronica (Doron D. Swade, La ricostruzione della macchina da calcolo di Charles Babbage – matematico inglese dell’800; avviò la costruzione di macchine calcolatrici -, Le Scienze, Milano, n°. 297, Maggio 1993: "Le macchine alle differenze di Babbage sono così chiamate perchè sfruttano il metodo alle differenze finite per trovare il valore di certe espressioni matematiche *...*. Il metodo alle differenze può essere applicato a qualunque polinomio di forma generale
L'ennesima differenza di un polinomio di n-esimo grado è sempre una costante che può fungere da base per il metodo alle differenze.
I polinomi sono impiegati per rappresentare molte relazioni in fisica e in ingegneria, e possono anche approssimare altre funzioni come per esempio funzioni logaritmiche e trigonometriche ");
- "I numeri: ricerca su" - Parte Prima - Ed. Ferraro, Napoli, 1977. (Copia conservata nella biblioteca dell'Accademia Nazionale dei Lincei - Dicembre 1977, ALC/pb - e segnalata su "Le Scienze", Milano, Ed. It. di Scientific American, Febbraio 1978, n°. 114);
- "I numeri: ricerca su" - Parte Seconda - Ed. Boccia, Salerno, 1979.
Proseguendo ed approfondendo l'indagine nel campo degli interi e sempre in riferimento alle potenze ennesime e ai polinomi, l'autore ha sviluppato e messo a punto questo lavoro sui triangoli numerici, partendo dal triangolo di Tartaglia (matematico del '500, famoso per aver contribuito alla scoperta della formula di risoluzione dell'equazione cubica - formula di Cardano - ; col suo nome è noto, appunto, il triangolo aritmetico a sviluppo indefinito). E, così come ha trovato un “elemento” comune nel caso dei triangoli numerici per esprimere xn, ed è risultato essere n ! la base di tutta la serie degli enne triangoli, anche in questo caso, che è l'oggetto della presente trattazione, ha trovato un "elemento" comune, ed è risultata essere la legge strutturale del triangolo dei coefficienti binomiali la base di tutti i triangoli dei:
- coefficienti P-nomiali (P=Pari) dello sviluppo
- coefficienti D-nomiali (D=Dispari) dello sviluppo
Gli era sembrata quasi ovvia l’esistenza di un triangolo numerico anche per il trinomio. Magari governato dalla stessa legge strutturale, elementare, semplice ed essenziale. L'ipotesi si è rivelata esatta e ha verificato che per tutti i triangoli della serie scoperta, corrispondente a tutti gli sviluppi ennesimi dei polinomi omogenei, completi e ordinati (con il binomio capofila), vale la stessa regola, che è la seguente:
‘’nel triangolo ennenomiale un qualunque termine si ottiene dalla somma degli enne numeri che lo sottendono’’.
E qui l’autore dà conto di questo sistema strutturale illimitato.
L’esistenza di questa serie infinita di triangoli numerici è suffragata anche dalla individuazione delle serie Tribonacci nel triangolo del trinomio, Tetranacci nel triangolo del tetranomio, Pentanacci nel triangolo del pentanomio,…e, all’infinito, della serie Ennenacci nel triangolo dell’ennenomio, così come la già nota serie di Fibonacci nel triangolo del binomio.
Alle Note dei capitoli relativi l’autore ne riporta cenni significativi, che si concludono con le relative equazioni e le conseguenti Costanti a partire dal famosissimo Rapporto Aureo.
La loro utilità? Intanto rappresentano una integrazione già nei settori di applicazione del triangolo binomiale che, come struttura numerica, viene utilizzato per la implementazione di particolari e specifici software in vari settori.
In particolare, rappresentano un completamento dei capitoli relativi al binomio, nei libri di testo scolastici, e una estensione e modifica della voce ‘Il triangolo del binomio’ nei dizionari e nelle enciclopedie.
Valgano, inoltre, come esempio le analogie tra il triangolo aritmetico di Pascal, mutuato dal triangolo di Tartaglia, e il triangolo armonico, analogie che affascinarono Leibniz nello studio delle serie infinite (partendo dal triangolo numerico Pascal, nel '600, spiegò e dimostrò il metodo di induzione matematica, giungendo a un passo dalla scoperta del calcolo infinitesimale; egli rappresentò un importante anello di collegamento nello sviluppo delle ricerche matematiche, anticipando Newton e Leibniz nella loro massima scoperta).
Che altro può riservare la serie scoperta? A quali evoluzioni può condurre?
Chi poteva prevedere l'applicazione delle matrici e dei gruppi e di altre teorie puramente matematiche alla fisica moderna? Oggi non c'è settore della scienza e della tecnica che non ne preveda l'impiego.
E le nuove geometrie, l'algebra moderna, la stessa (appunto!) teoria dei numeri, la teoria degli aggregati, la teoria delle funzioni, .....?
Risultano essere tutte grandi conquiste moderne della matematica applicata nei campi più disparati.
E se anche così non fosse, o non fosse stato, rimane pur sempre l'appagamento e la soddisfazione intellettuale, perchè (J. Navarro, La nuova matematica, Novara, 1977) "l'attività del matematico puro, muovendosi nel campo dell'astratto guidato da criteri che si avvicinano molto all'estetica, non è sostanzialmente diversa da quella del pittore o del musicista ".
Oltre la ricerca specialistica, le frontiere del sapere e della conoscenza spesso sono state superate solo per diletto, raramente per edonismo, quasi sempre in maniera inconsapevole … quella splendida inconsapevolezza che rende la mente sgombra da schemi vincolanti e da rigide geometrie deduttive e che consente di cogliere quasi miracolosamente l’insita semplicità delle architetture complesse.
Sergio Vocca
Considerata in passato l'ancella dell'analisi e dell'algebra nel vasto campo delle scienze matematiche, ha acquistato nel tempo un interesse specifico imponendosi definitivamente come disciplina autonoma e rivelandosi talmente affascinante e misteriosa da essere definita "un'arte più che una scienza" da autorevoli matematici.
Sistematiche speculazioni ed eleganti dimostrazioni l'hanno resa feconda di risultati e di applicazioni pratiche, ma tuttora è costellata di problemi insoluti e ricca ancora di congetture di notevole interesse. Come cultore e dilettante, in settori della teoria dei numeri l'autore da anni conduce ricerche, di cui alcune già concretizzate in:
- lavoro manoscritto sul calcolo di xn e n ! , "Concorso per la matematica", 1972 indetto da Ministero P.I. e Accademia dei Lincei - (tra i recensiti a stampa, agli Atti dell'Accademia).
In esso viene individuato e dimostrato che l’ennesima differenza di un polinomio di n-esimo grado (che è sempre una costante) è n!, base comune a tutti i triangoli numerici che esprimono xn per mezzo di somme e differenze di numeri interi.
E le formule ottenute corrispondono, appunto, ai principi matematici che stanno alla base delle macchine alle differenze, capaci di tabulare polinomi con risultati eccezionali per i sistemi attuali di elaborazione elettronica (Doron D. Swade, La ricostruzione della macchina da calcolo di Charles Babbage – matematico inglese dell’800; avviò la costruzione di macchine calcolatrici -, Le Scienze, Milano, n°. 297, Maggio 1993: "Le macchine alle differenze di Babbage sono così chiamate perchè sfruttano il metodo alle differenze finite per trovare il valore di certe espressioni matematiche *...*. Il metodo alle differenze può essere applicato a qualunque polinomio di forma generale
L'ennesima differenza di un polinomio di n-esimo grado è sempre una costante che può fungere da base per il metodo alle differenze.
I polinomi sono impiegati per rappresentare molte relazioni in fisica e in ingegneria, e possono anche approssimare altre funzioni come per esempio funzioni logaritmiche e trigonometriche ");
- "I numeri: ricerca su" - Parte Prima - Ed. Ferraro, Napoli, 1977. (Copia conservata nella biblioteca dell'Accademia Nazionale dei Lincei - Dicembre 1977, ALC/pb - e segnalata su "Le Scienze", Milano, Ed. It. di Scientific American, Febbraio 1978, n°. 114);
- "I numeri: ricerca su" - Parte Seconda - Ed. Boccia, Salerno, 1979.
Proseguendo ed approfondendo l'indagine nel campo degli interi e sempre in riferimento alle potenze ennesime e ai polinomi, l'autore ha sviluppato e messo a punto questo lavoro sui triangoli numerici, partendo dal triangolo di Tartaglia (matematico del '500, famoso per aver contribuito alla scoperta della formula di risoluzione dell'equazione cubica - formula di Cardano - ; col suo nome è noto, appunto, il triangolo aritmetico a sviluppo indefinito). E, così come ha trovato un “elemento” comune nel caso dei triangoli numerici per esprimere xn, ed è risultato essere n ! la base di tutta la serie degli enne triangoli, anche in questo caso, che è l'oggetto della presente trattazione, ha trovato un "elemento" comune, ed è risultata essere la legge strutturale del triangolo dei coefficienti binomiali la base di tutti i triangoli dei:
- coefficienti P-nomiali (P=Pari) dello sviluppo
- coefficienti D-nomiali (D=Dispari) dello sviluppo
Gli era sembrata quasi ovvia l’esistenza di un triangolo numerico anche per il trinomio. Magari governato dalla stessa legge strutturale, elementare, semplice ed essenziale. L'ipotesi si è rivelata esatta e ha verificato che per tutti i triangoli della serie scoperta, corrispondente a tutti gli sviluppi ennesimi dei polinomi omogenei, completi e ordinati (con il binomio capofila), vale la stessa regola, che è la seguente:
‘’nel triangolo ennenomiale un qualunque termine si ottiene dalla somma degli enne numeri che lo sottendono’’.
E qui l’autore dà conto di questo sistema strutturale illimitato.
L’esistenza di questa serie infinita di triangoli numerici è suffragata anche dalla individuazione delle serie Tribonacci nel triangolo del trinomio, Tetranacci nel triangolo del tetranomio, Pentanacci nel triangolo del pentanomio,…e, all’infinito, della serie Ennenacci nel triangolo dell’ennenomio, così come la già nota serie di Fibonacci nel triangolo del binomio.
Alle Note dei capitoli relativi l’autore ne riporta cenni significativi, che si concludono con le relative equazioni e le conseguenti Costanti a partire dal famosissimo Rapporto Aureo.
La loro utilità? Intanto rappresentano una integrazione già nei settori di applicazione del triangolo binomiale che, come struttura numerica, viene utilizzato per la implementazione di particolari e specifici software in vari settori.
In particolare, rappresentano un completamento dei capitoli relativi al binomio, nei libri di testo scolastici, e una estensione e modifica della voce ‘Il triangolo del binomio’ nei dizionari e nelle enciclopedie.
Valgano, inoltre, come esempio le analogie tra il triangolo aritmetico di Pascal, mutuato dal triangolo di Tartaglia, e il triangolo armonico, analogie che affascinarono Leibniz nello studio delle serie infinite (partendo dal triangolo numerico Pascal, nel '600, spiegò e dimostrò il metodo di induzione matematica, giungendo a un passo dalla scoperta del calcolo infinitesimale; egli rappresentò un importante anello di collegamento nello sviluppo delle ricerche matematiche, anticipando Newton e Leibniz nella loro massima scoperta).
Che altro può riservare la serie scoperta? A quali evoluzioni può condurre?
Chi poteva prevedere l'applicazione delle matrici e dei gruppi e di altre teorie puramente matematiche alla fisica moderna? Oggi non c'è settore della scienza e della tecnica che non ne preveda l'impiego.
E le nuove geometrie, l'algebra moderna, la stessa (appunto!) teoria dei numeri, la teoria degli aggregati, la teoria delle funzioni, .....?
Risultano essere tutte grandi conquiste moderne della matematica applicata nei campi più disparati.
E se anche così non fosse, o non fosse stato, rimane pur sempre l'appagamento e la soddisfazione intellettuale, perchè (J. Navarro, La nuova matematica, Novara, 1977) "l'attività del matematico puro, muovendosi nel campo dell'astratto guidato da criteri che si avvicinano molto all'estetica, non è sostanzialmente diversa da quella del pittore o del musicista ".
Oltre la ricerca specialistica, le frontiere del sapere e della conoscenza spesso sono state superate solo per diletto, raramente per edonismo, quasi sempre in maniera inconsapevole … quella splendida inconsapevolezza che rende la mente sgombra da schemi vincolanti e da rigide geometrie deduttive e che consente di cogliere quasi miracolosamente l’insita semplicità delle architetture complesse.
Sergio Vocca
ANNOTAZIONE
Non sono riuscito a riprodurre le formule matematiche a causa della mia approssimativa conoscenza dell'informatica. Ritengo che chi sia veramente interessato ad acquistare il volume lo può chiedere alla casella postale dell'Autore: alfonso.vocca@tiscali.it
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